Se llama recta tangente, a la recta que toca a una circunferencia (o arco de circunferencia) en un único punto, llamado punto de tangencia. Análogamente, dos circunferencias son tangentes si se tocan en un único punto.
La tangencia se puede producir entre: A. Entre rectas con circunferencias B. Entre circunferencias conociendo el radio C. Entre circunferencias sin conocer el radio
Las tangencias permiten resolver muchos problemas geométricos y son útiles en el diseño de objetos, diseños gráficos y diseños decorativos.
1.2.- Propiedades de las tangencias.
a) Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros b) Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. c) El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman. d) El centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos está en la mediatriz del segmento.
Aquí en el dibujo tienes una versión simplificada. Falta señalar el punto de tangencia de la circunferencia con la recta r, con un radio perpendicular a ella. Entra en el enlace de abajo y verás qué bien te lo explican.
Siendo r el radio de las circunferencias tangentes a la
circunferencia y la recta s dadas:
Observa el proceso aquí en el vídeo y lee abajo las instrucciones, te ayudará.
Trazamos la circunferencia de radio r1+r (r1 es
el radio de la circunferencia dada), y las rectas paralelas a s
que disten de ella una distancia igual al radio r
Los
puntos comunes a ambos son los centros de las circunferencias buscadas. Sólo falta señalar en este ejemplo, los puntos de tangencia exactos (unión de los centro, y radios perpendiculares a la recta s).
Si
los datos lo permiten, también es posible hallar los centros de dos
circunferencias tangentes interiores a la dada, restando los radios
r1-r.
Atención: Para acabar el ejercicio en el ejemplo superior falta señalar con exactitud los puntos de tangencia, que se hallan uniendo los centros (los cuales también han olvidado nombrar, como ves es algo importante para referirnos a los elementos, pero no encontré otra imagen mejor).
6º CONSTRUIR TRES CIRCUNFERENCIAS DE DISTINTOS RADIOS CONOCIDOS TANGENTES ENTRE SÍ
Aquí un ejemplo con tres latas tangentes entre sí, aunque la verdad es que no las han juntado bien del todo y parece que el punto "t " rellena el hueco...pero se entiende la propuesta, ¿no?.
Para ello, si haces un esquema de cómo quedaría la solución, observarás que los centros de las tres circunferencias forman un triángulo. Debes construir ese triángulo escaleno, con ayuda del compás, cuyos lados miden la suma de dos radios, por parejas: r1+r2, r1+r3 y r2+r3. Dibuja primero cada segmento suma, para llevarlos con el compás y ver dónde se cortan. Ten cuidado de seguir bien el esquema previo para ordenar bien cada circunferencia. Cómo ves en esos lados del triángulo ya tienes situados los puntos de tangencia entre cada pareja también, donde acaba cada radio sumado con el siguiente. Y al final trazas las tres circunferencias solución.
7º CONSTRUIR CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES A OTRA CIRCUNFERENCIA DADA Y QUE PASEN POR UN PUNTO EXTERIOR "P".
Para hallar las circunferencias de radio R conocido que pasando por un punto P dado son tangentes a una circunferencia dada de centro C y radio r, se trazará una circunferencia con centro en P y radio R y otras dos circunferencias con centro en C y radios R+r y r-R, respectivamente.
Los puntos de intersección de dichas circunferencias serán los centros de las circunferencias que pasando por P y siendo tangentes a C tienen radio R.
Los puntos de intersección situados sobre la circunferencia de radio R+r se corresponden con los centros de las circunferencias que son tangentes exteriores a C, mientras que los puntos de intersección situados sobre la circunferencia de radio r-R se corresponden con los centros de las circunferencias que son tangentes interiores a C.
La circunferencia de centro P y radio R podrá ser secante, tangente o no cortar a las circunferencias de radio R+r y de radio r-R, pudiendo existir 1, 2, 3, 4 o ninguna solución al problema (como mucho habrá dos circunferencias tangentes interiores a C y dos circunferencias tangentes exteriores a C que pasan por P y tienen radio R). En este dibujo del ejemplo sólo tiene como solución las dos circunferencias tangentes exteriores, porque la de centro C y radio r - R no se corta con la otra de centro en P.
Atención: Para acabar el ejercicio en el ejemplo superior falta señalar con exactitud los puntos de tangencia, que se hallan uniendo los centros O1 con C y O2 con C.
2.- ENLACES
Los enlaces entre curvas o entre recta y curva se realizan a partir de tangencias. Si es entre dos circunferencias tangentes nos quedamos con el trozo de curva que enlaza una con otra y borramos el resto. Si el enlace es entre recta y curva, entonces borramos la parte de la curva que no va unida a la recta tangente a ella.
EJERCICIO: CÓMO ENLAZAR PUNTOS MEDIANTE CURVAS.
Aquí tienes dos webs con ejemplos resueltos de este ejercicio:
Aquí os dejo algunas informaciones y enlaces para aquellos que suspendisteis la evaluación. Recuerda que debes presentar los trabajos no aprobados o no entregados, y los apuntes de geometría realizados de nuevo, de acuerdo al guión, a mano, no realizados con ordenador, para poder presentarte al examen de recuperación.
En los apuntes para 1º de ESO tienes mucho del material que hemos trabajado en clase. Aquí ampliaciones específicas de 3º.
Polígonos inscritos: sobre polígonos regulares inscritos en la circunferencia tienes la información en los apuntes colgados para 1º de ESO, tema 2. Pero aquí ampliaremos algunos específicos para este curso.
Pentágono y decágono inscritos:
Y por si aún te quedó alguna duda, mi antiguo compañero de Bellas Artes, Aitor, lo explica muy bien en este ejemplo: pentágono y decágono inscrito
Polígonos cuando el dato dado es el lado:
También en este caso tienes ejemplos de triángulos y cuadrado en los apuntes de 1º de ESO, además siempre puedes encontrar más en Internet. Así que te añado lo que no aparece en lo de 1º.
Pentágono regular dado el lado:
Método general para reducir o ampliar el lado de un polígono cualquiera hasta que mida el lado que te han pedido:
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
La teoría la encontrarás por ejemplo AQUÍ.
Veamos algunos ejemplos:
Figuras semejantes u homotéticas: a continuación tienes un enlace para crear una figura semejante de razón 2, es decir, de área el doble:
Otro ejemplo con una razón distinta:
Recuerda que además de realizarse desde un punto exterior se puede hacer desde uno de los vértices de la propia figura, como centro O de homotecia, lo demás igual.
Otro tipo de transformaciones, llamadas ISOMÉTRICAS, mantienen a la figura tal cual, sólo la cambian de posición y/o lugar:
TRASLACIÓN:
Necesitamos como dato un véctor con la dirección y el sentido, y que nos digan la distancia que hay que trasladar la figura.
Para ver un ejemplo de cómo se divide un segmento en 3 partes iguales por el Teorema de Tales haz click AQUÍ.
Y si quieres, también puedes ver un Ejemplo práctico de cómo averiguar dónde está el centro de una circunferencia que pasa por 3 puntos no alineados en ÉSTE.
Repasa las construcciones de los triángulos en estos vídeos:
Aquí tienes las páginas del libro con la infomación para ese primer tema. Basta que pinches sobre cada una para verlas más grandes. Con el botón derecho del ratón, y poniéndote sobre cada una, puedes decirle "guardar imagen como" y guardarlas en tu ordenador, numerándolas por el orden que está al nombrarlas. Así podrás verlas más grandes desde tu ordenador. También imprimirlas si lo ves mejor.
Aquí tienes una forma un poquito diferente de trazar una recta paralela a otra, que pase por un punto P exterior, con ayuda del compás. Puedes hacer la de la página del libro (es la que vimos en clase) o esta si te gusta más.
TRAZAR PARALELA A UNA RECTA CON EL COMPÁS
A continuación tienes un vídeo en el que verás paso a paso cómo construir una perpendicular a una recta con ayuda del compás que pase por un punto P exterior. AQUí
Y lo mismo pero si el punto está sobre la recta. Observa atentamente el vídeo.
AQUÍ